4192. Выпуклый четырёхугольник разбит диагоналями на четыре треугольника, площади которых выражаются целыми числами. Докажите, что произведение этих чисел представляет собой точный квадрат.
Указание. Если S_{1}
, S_{2}
, S_{3}
и S_{4}
— площади последовательных треугольников, на которые диагонали разбивают выпуклый четырёхугольник, то S_{1}\cdot S_{3}=S_{2}\cdot S_{4}
.
Решение. Докажем сначала следующее утверждение: если S_{1}
, S_{2}
, S_{3}
и S_{4}
— площади последовательных треугольников, на которые диагонали разбивают выпуклый четырёхугольник, то S_{1}\cdot S_{3}=S_{2}\cdot S_{4}
.
Пусть диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке P
. Обозначим
S_{\triangle ABP}=S_{1},S_{\triangle BCP}=S_{2},S_{\triangle CPD}=S_{3},S_{\triangle ADP}=S_{4}.
У треугольников ABP
и BCP
общая высота, проведённая из вершины B
, поэтому \frac{S_{\triangle ABP}}{S_{\triangle BCP}}=\frac{AP}{CP}
. Аналогично, \frac{S_{\triangle ADP}}{S_{\triangle CDP}}=\frac{AP}{CP}
. Поэтому \frac{S_{\triangle ABP}}{S_{\triangle BCP}}=\frac{S_{\triangle ADP}}{S_{\triangle CDP}}
, или \frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{S_{4}}{S_{3}}
. Следовательно, S_{1}\cdot S_{3}=S_{2}\cdot S_{4}
. Утверждение доказано.
Перейдём к нашей задаче. Так как S_{1}\cdot S_{3}=S_{2}\cdot S_{4}
, то
S_{1}S_{2}S_{3}S_{4}=S_{1}S_{3}\cdot S_{2}S_{4}=S_{1}S_{3}\cdot S_{1}S_{3}=(S_{1}S_{3})^{2},
причём S_{1}S_{3}
— целое число.