4193. Диагонали четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке P
, причём S_{\triangle ABP}^{2}+S_{\triangle CDP}^{2}=S_{\triangle BCP}^{2}+S_{\triangle ADP}^{2}
. Докажите, что P
— середина одной из диагоналей.
Указание. Если S_{1}
, S_{2}
, S_{3}
и S_{4}
— площади последовательных треугольников, на которые диагонали разбивают выпуклый четырёхугольник, то S_{1}\cdot S_{3}=S_{2}\cdot S_{4}
.
Решение. Докажем сначала следующее утверждение: если S_{1}
, S_{2}
, S_{3}
и S_{4}
— площади последовательных треугольников, на которые диагонали разбивают выпуклый четырёхугольник, то S_{1}\cdot S_{3}=S_{2}\cdot S_{4}
.
Обозначим
S_{\triangle ABP}=S_{1},S_{\triangle BCP}=S_{2},S_{\triangle CPD}=S_{3},S_{\triangle ADP}=S_{4}.
У треугольников ABP
и BCP
общая высота, проведённая из вершины B
, поэтому \frac{S_{\triangle ABP}}{S_{\triangle BCP}}=\frac{AP}{CP}
. Аналогично, \frac{S_{\triangle ADP}}{S_{\triangle CDP}}=\frac{AP}{CP}
. Поэтому \frac{S_{\triangle ABP}}{S_{\triangle BCP}}=\frac{S_{\triangle ADP}}{S_{\triangle CDP}}
, или \frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{S_{4}}{S_{3}}
. Следовательно, S_{1}\cdot S_{3}=S_{2}\cdot S_{4}
. Утверждение доказано.
Перейдём к нашей задаче. Из условия и доказанного утверждения следует, что
\syst{S_{1}^{2}+S_{3}^{2}=S_{2}^{2}+S_{4}^{2}\\S_{1}\cdot S_{3}=S_{2}\cdot S_{4}\\}
Умножим второе из этих равенств на 2 и вычтем результат из первого. Получим, что (S_{1}-S_{3})^{2}=(S_{2}-S_{4})^{2}
. Значит, либо S_{1}-S_{3}=S_{2}-S_{4}
, либо S_{1}-S_{3}=S_{4}-S_{2}
.
В первом из этих случаев S_{1}+S_{4}=S_{2}+S_{3}
, т. е. S_{\triangle ABD}=S_{\triangle BCD}
. Пусть M
и N
— основания перпендикуляров, опущенных из точек соответственно A
и C
на диагональ BD
. У треугольников ABD
и BCD
общее основание BD
, а так как они равновелики, то равны их высоты, опущенные на это основание, т. е. AM=CN
. Если точки M
и N
совпадают, то всё доказано. Если же M
и N
различны, то прямоугольные треугольники AMP
и CNP
равны по катету и противолежащему острому углу. Следовательно, AP=CP
.
Во втором случае аналогично докажем, что P
— середина диагонали BD
.