4194. Четырёхугольник ABCD
— вписанный. Докажите, что
\frac{AC}{BD}=\frac{AB\cdot AD+CB\cdot CD}{BA\cdot BC+DA\cdot DC}.
Решение. Пусть S
— площадь четырёхугольника ABCD
, R
— радиус его описанной окружности. Тогда
S=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BCD}=\frac{AB\cdot AD\cdot BD}{4R}+\frac{CB\cdot CD\cdot BD}{4R}=(AB\cdot AD+CB\cdot CD)\frac{BD}{4R},
S=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}=\frac{BA\cdot BC\cdot AC}{4R}+\frac{DA\cdot DC\cdot AC}{4R}=(BA\cdot BC+DA\cdot DC)\frac{AC}{4R}.
Следовательно,
(AB\cdot AD+CB\cdot CD)\cdot\frac{BD}{4R}=(BA\cdot BC+DA\cdot DC)\cdot\frac{AC}{4R},
откуда
\frac{AC}{BD}=\frac{AB\cdot AD+CB\cdot CD}{BA\cdot BC+DA\cdot DC}.