4194. Четырёхугольник ABCD
— вписанный. Докажите, что
\frac{AC}{BD}=\frac{AB\cdot AD+CB\cdot CD}{BA\cdot BC+DA\cdot DC}.
Решение. Пусть S
— площадь четырёхугольника ABCD
, R
— радиус его описанной окружности. Тогда
S=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BCD}=\frac{AB\cdot AD\cdot BD}{4R}+\frac{CB\cdot CD\cdot BD}{4R}=(AB\cdot AD+CB\cdot CD)\frac{BD}{4R},
S=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}=\frac{BA\cdot BC\cdot AC}{4R}+\frac{DA\cdot DC\cdot AC}{4R}=(BA\cdot BC+DA\cdot DC)\frac{AC}{4R}.
Следовательно,
(AB\cdot AD+CB\cdot CD)\cdot\frac{BD}{4R}=(BA\cdot BC+DA\cdot DC)\cdot\frac{AC}{4R},
откуда
\frac{AC}{BD}=\frac{AB\cdot AD+CB\cdot CD}{BA\cdot BC+DA\cdot DC}.
Источник: Пржевальский Е. Собрание геометрических теорем и задач. — М.: Типография Г. Лисснера и Д. Собко, 1909. — № 110, с. 146
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 6.35, с. 154
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 6.38, с. 155