4198. Пусть O_{a}
, O_{b}
и O_{c}
— центры описанных окружностей треугольников PBC
, PCA
и PAB
. Докажите, что если точки O_{a}
и O_{b}
лежат на прямых PA
и PB
, то точка O_{c}
лежит на прямой PC
.
Указание. Прямые, на которых лежат высоты треугольника, пересекаются в одной точке.
Решение. Линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде, поэтому AP\perp O_{b}O_{c}
, BP\perp O_{a}O_{c}
и CP\perp O_{a}O_{b}
. При этом точка A
лежит на прямой O_{a}P
, а точка B
— на прямой O_{b}P
, значит, высоты треугольника O_{a}O_{b}O_{c}
, проведённые из вершин O_{a}
и O_{b}
, лежат на прямых O_{a}A
и O_{b}B
. Эти прямые пересекаются в точке P
, поэтому прямая, содержащая высоту треугольника O_{a}O_{b}O_{c}
, проведённую из третьей вершины O_{c}
, также проходит через точку P
, а так как CP\perp O_{a}O_{b}
, то точки O_{c}
, P
и C
лежат на одной прямой.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 3.37
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 3.38, с. 60