4201. Даны точки A(x_{1};y_{1})
и B(x_{2};y_{2})
. Докажите, что
AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}.
Указание. Примените теорему Пифагора.
Решение. Пусть A(x_{1};y_{1})
и B(x_{2};y_{2})
— данные точки, причём x_{1}\ne x_{2}
и y_{1}\ne y_{2}
. Пусть прямая, проходящая через точку A
параллельно оси OX
, и прямая, проходящая через точку B
параллельно оси OY
, пересекаются в точке C
. Тогда
AB=|x_{2}-x_{1}|,~BC=|y_{2}-y_{1}|.
По теореме Пифагора
AC=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}.
Если x_{1}=x_{2}
(или y_{1}=y_{2}
), то x_{2}-x_{1}=0
(или y_{2}-y_{1}=0
). Поэтому формула верна и в этом случае.
Источник: Погорелов А. В. Геометрия: Учебное пособие для 7—11 кл. средней школы. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 1989. — п.73