4203. Докажите, что любая прямая в декартовых координатах xOy
имеет уравнение вида ax+by+c=0
, где a
, b
, c
— некоторые числа, причём хотя бы одно из чисел a
, b
отлично от нуля.
Указание. Возьмите две точки A(x_{1};y_{1})
и B(x_{2};y_{2})
так, чтобы данная прямая была серединным перпендикуляром к отрезку AB
, и примените теорему о серединном перпендикуляре к отрезку.
Решение. Пусть l
— произвольная прямая на плоскости XOY
. Рассмотрим две различные точки A(x_{1};y_{1})
и B(x_{2};y_{2})
, симметричные относительно прямой l
. Поскольку прямая l
— серединный перпендикуляр к отрезку AB
, то произвольная точка M(x;y)
этой прямой равноудалена от концов отрезка AB
. Координаты этой точки удовлетворяют уравнению
(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}=(x-x_{2})^{2}+(y-y_{2})^{2}.
Обратно, если координаты точки M
удовлетворяют этому уравнению, то она равноудалена от точек A
и B
, а значит, лежит на прямой l
.
После раскрытия скобок и приведения подобных полученное уравнение примет вид:
2(x_{2}-x_{1})x+2(y_{2}-y_{1})y+(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-x_{2}^{2}-y_{2}^{2})=0.
Обозначив 2(x_{2}-x_{1})=a
, 2(y_{2}-y_{1})=b
, и x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-x_{2}^{2}-y_{2}^{2}
, получим уравнение
ax+by+c=0.
Поскольку точки A
и B
различны, то крайней мере одно из чисел a
и b
отлично от нуля.
Примечание. Уравнение прямой в отрезках. Если прямая не проходит через начало координат, не параллельна осям Ox
и Oy
и пересекает их в точках (p;0)
и (0;q)
, то её уравнение можно записать в виде
\frac{x}{p}+\frac{y}{q}=1.
Доказательство. Поскольку по условию a\ne0
, b\ne0
и c\ne0
, то
ax+by+c=0~\Leftrightarrow~\frac{x}{-\frac{c}{a}}+\frac{x}{-\frac{b}{a}}=1~\Leftrightarrow~\frac{x}{p}+\frac{y}{q}=1,
где p=-\frac{c}{a}
и q=-\frac{b}{a}
.