4204. Докажите, что любая прямая, не параллельная оси ординат, имеет уравнение вида y=kx+l
. Число k
называется угловым коэффициентом прямой. Угловой коэффициент прямой с точностью до знака равен тангенсу острого угла, который образует прямая с осью x
.
Решение. Пусть прямая задана уравнением ax+by+c=0
. Если b\ne0
, то это уравнение можно записать в виде: y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}
. Обозначим -\frac{a}{b}=k
, -\frac{c}{b}=l
. Получим уравнение y=kx+l
.
Если координаты двух различных точек прямой равны, то прямая параллельна оси OX
. В этом случае k=0=\tg0
.
Пусть A(x_{1};y_{1})
и B(x_{2};y_{2})
— две различные точки этой прямой, причём x_{1}\lt x_{2}
. Подставив координаты этих точек в это уравнение, получим верные числовые равенства
y_{1}=kx_{1}+l~\mbox{и}~y_{2}=kx_{2}+l,
из которых следует, что y_{2}-y_{1}=k(x_{2}-x_{1})
. Отсюда находим, что
k=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}.
Пусть \alpha
— угол между данной прямой и осью OX
. Если y_{2}\gt y_{1}
, то
k=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\tg\alpha.
Если y_{2}\lt y_{1}
, то
k=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=-\tg\alpha.
Докажем теперь, что график любой линейной функции y=px+q
есть прямая. Действительно, точки M(0;q)
и N(1;p+q)
принадлежат графику этой функции. Составим уравнение прямой, проходящей через точки M
и N
, в виде y=kx+l
. Для этого подставим координаты этих точек в последнее уравнение. Получим верные числовые равенства
q=k\cdot0+l,~\mbox{и}~p+q=k\cdot1+l.
Отсюда находим, что l=q
и k=p
. Таким образом наша прямая имеет уравнение y=px+q
. Следовательно, уравнению прямой удовлетворяют все точки графика линейной функции, т. е. графиком линейной функции является прямая.