4206. Докажите, что уравнение прямой, проходящей через точки M_{0}(x_{0};y_{0})
и M_{1}(x_{1};y_{1})
(x_{1}\ne x_{0}
, y_{1}\ne y_{0}
), имеет вид
\frac{y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}=\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}.
Указание. Подставьте координаты точки M_{1}(x_{1};y_{1})
в уравнение прямой с угловым коэффициентом k
, проходящей через точку M_{0}(x_{0};y_{0})
, и найдите k
.
Решение. Уравнение прямой с угловым коэффициентом k
, проходящей через точку M_{0}(x_{0};y_{0})
, имеет вид y-y_{0}=k(x-x_{0})
. Если прямой принадлежит точка M_{1}(x_{1};y_{1})
, то координаты точки M_{1}
удовлетворяют этому уравнению, т. е. y_{1}-y_{0}=k(x_{1}-x_{0})
— верное числовое равенство. Поскольку x_{1}\ne x_{0}
, то k=\frac{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x{0}}
. Значит, уравнение нашей прямой можно записать в виде
y-y_{0}=\frac{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}(x-x_{0}),
а так как y_{1}\ne y_{0}
, то разделив обе части последнего уравнения на y_{1}-y_{0}
, получим уравнение
\frac{y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}=\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}.