4208. На стороне BC
треугольника ABC
взята точка M
, причём BM:MC=3:2
. Известно, что BC=15
, AC=10
, AB=8
.
а) Выразите вектор \overrightarrow{AM}
через векторы \overrightarrow{AB}
и \overrightarrow{AC}
.
б) Найдите длину отрезка AM
.
Ответ. а) \frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}
.
б) \frac{\sqrt{790}}{5}
.
Указание. Выразите вектор \overrightarrow{AM}
через векторы \overrightarrow{AB}
, \overrightarrow{AC}
и примените скалярное произведение векторов.
Решение. а) Заметим, что
\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM},~\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}.
Умножим обе части первого равенства на 2, второго — на 3, и сложим почленно полученные равенства. Тогда
5\overrightarrow{AD}=(2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BM})+(3\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{CM})=
=(2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC})+(2\overrightarrow{BM}+3\overrightarrow{CM})=
=2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{0}=2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}.
Следовательно,
\overrightarrow{AM}=\frac{1}{5}(2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC})=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}.
б) Заметим, что \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}
. Тогда
15^{2}=AB^{2}=\overrightarrow{AB}^{2}=(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})^{2}=\overrightarrow{AC}^{2}-2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}^{2}=
=AC^{2}-2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}+AB^{2}=100-2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}+64.
Отсюда находим, что 2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=164-225=-61
. Значит,
AM^{2}=\overrightarrow{AM}^{2}=\left(\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}\right)^{2}=\frac{1}{25}(4\overrightarrow{AB}^{2}+2\cdot2\overrightarrow{AB}\cdot3\overrightarrow{AC}+9\overrightarrow{AC}^{2})=
=\frac{1}{25}(4\cdot64+12\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+9\cdot100)=\frac{1}{25}(256-6\cdot61+900)=\frac{790}{5}.
Следовательно, AM=\frac{\sqrt{790}}{5}
.