4213. Докажите что точки A(-1;-2)
, B(2;-1)
и C(8;1)
лежат на одной прямой.
Указание. Докажите, что AB+BC=BC
(или установите коллинеарность векторов \overrightarrow{AB}
и \overrightarrow{AC}
).
Решение. Первый способ. По формуле для расстояния между двумя точками
AB=\sqrt{(2-(-1))^{2}+(-1-(-2))^{2}}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10},
AC=\sqrt{(8-(-1))^{2}+(1-(-2))^{2}}=\sqrt{81+9}=\sqrt{90}=3\sqrt{10},
BC=\sqrt{(8-2)^{2}+(1-(-1))^{2}}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}.
Поскольку,
AB+BC=\sqrt{10}+2\sqrt{10}=3\sqrt{10}=BC,
то точки A
, B
и C
лежат на одной прямой.
Второй способ. Поскольку
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{(2-(-1);-1-(-2)}=\overrightarrow{(3;1)},~\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{(8-(-1);1-(-2)}=\overrightarrow{(9;3)},~
то векторы \overrightarrow{AB}
и \overrightarrow{AC}
коллинеарны (\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}
). Следовательно, точки A
, B
и C
лежат на одной прямой.