4214. Даны точки A(-2;1)
, B(2;5)
и C(4;-1)
. Точка D
лежит на продолжении медианы AM
за точку M
, причём четырёхугольник ABDC
— параллелограмм. Найдите координаты точки D
.
Ответ. (8;3)
.
Решение. Первый способ. Координаты точки M(x_{0};y_{0})
есть средние арифметические соответствующих координат концов отрезка BC
, т. е.
x_{0}=\frac{2+4}{2}=3,~y_{0}=\frac{5-1}{2}=2.
Поскольку диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, то M(x_{0};y_{0})
— середина отрезка с концами в точках A(-2;1)
и D(x_{1};y_{1})
. Поэтому
x_{0}=\frac{-2+x_{1}}{2}=3,~y_{0}=\frac{1+y_{1}}{2}=2.
Отсюда находим, что x_{1}=8,~y_{1}=3
.
Второй способ. Пусть x_{1}
, y_{1}
— координаты точки D
. Если ABCD
— параллелограмм, то \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}
, а так как
\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{(x_{1}-2;y_{1}-5)},~\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{(4-(-2);-1-1)}=\overrightarrow{(6;-2)},
то
x_{1}-2=6,~y_{1}-5=-2.
Отсюда находим, что x_{1}=8,~y_{1}=3
.