4218. Даны точки A(-2;0)
, B(1;6)
, C(5;4)
и D(2;-2)
. Докажите, что четырёхугольник ABCD
— прямоугольник.
Указание. Докажите, что \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}
и \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0
.
Решение. Четырёхугольник ABCD
является прямоугольником, если AB\parallel DC
, AB=DC
и AB\perp AD
. Для этого достаточно доказать, что \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}
и \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}
.
Поскольку
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{(1-(-2);6-0)}=\overrightarrow{(3;6)},~\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{(5-2);4-(-2)}=\overrightarrow{(3;6)},
\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{(2-(-2);-2-0)}=\overrightarrow{(4;-2)},
то \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}
и
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=3\cdot4+6\cdot(-2)=0.
Что и требовалось доказать.