4228. Найдите радиус и координаты центра окружности, заданной уравнением:
а) (x-3)^{2}+(y+2)^{2}=16
;
б) x^{2}+y^{2}-2(x-3y)-15=0
;
в) x^{2}+y^{2}=x+y+\frac{1}{2}
.
Ответ. а) (3;-2)
, R=4
; б) (1;-3)
, R=5
; в) \left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)
, R=1
.
Решение. а) Окружность радиуса R
с центром в точке A(a;b)
имеет уравнение вида
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}.
В данном случае a=3
, b=-2
, R=4
.
б)
x^{2}+y^{2}-2(x-3y)-15=0\Leftrightarrow x^{2}-2x+1+y^{2}+6y+9-1-9-15=0\Leftrightarrow
\Leftrightarrow(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=25.
Следовательно, a=1
, b=-3
, R=5
.
в)
x^{2}+y^{2}=x+y+\frac{1}{2}\Leftrightarrow x^{2}-x+\frac{1}{4}+y^{2}-y+\frac{1}{4}++\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\Leftrightarrow
\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=1.
Следовательно, a=b=\frac{1}{2}
, R=1
.