4232. Составьте уравнение окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку A(2;1)
.
Ответ. (x-5)^{2}+(y-5)^{2}=25
или (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1
.
Решение. Поскольку окружность касается осей координат и проходит через точку, расположенную в первой координатной четверти, то центр окружности лежит на прямой y=x
. Значит, абсцисса и ордината центра окружности равны её радиусу. Следовательно, уравнение окружности имеет вид
(x-R)^{2}+(y-R)^{2}=R^{2}.
Поскольку точка A(2;1)
лежит на окружности, координаты этой точки удовлетворяют полученному уравнению, т. е. (2-R)^{2}+(1-R)^{2}=R^{2}
. Отсюда находим, что R=1
или R=5
. Следовательно, искомое уравнение имеет вид:
(x-5)^{2}+(y-5)^{2}=25~\mbox{или}~(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1.