4238. Даны точки A(5;5)
, B(8;-3)
и C(-4;1)
. Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника ABC
.
Ответ. (3;1)
.
Решение. Первый способ. Известно, что медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1
, считая от вершины. Поэтому, если D(x_{1};y_{1})
— середина отрезка BC
, то AM:MD=2:1
. Известно также, что координаты середины отрезка есть средние арифметические соответствующих координат его концов. Значит,
x_{1}=\frac{8-4}{2}=2,~y_{1}=\frac{-3+1}{2}=-1.
Поскольку точка M(x_{0};y_{0})
делит отрезок AD
в отношении 2:1
, считая от точки A
, то по теореме о пропорциональных отрезках проекция точки M
на ось OX
делит проекцию отрезка AD
на эту ось в том же отношении, т. е.
\frac{x_{0}-5}{2-x_{0}}=2.
Отсюда находим, что x_{0}=3
. Аналогично находим, что y_{0}=1
.
Второй способ. Пусть M(x_{0};y_{0})
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. Поскольку координаты точки пересечения медиан треугольника есть средние арифметические соответствующих координат вершин треугольника, то
x_{0}=\frac{5+8-4}{3}=3,~y_{0}=\frac{5-3+1}{3}=1.