4241. Составьте уравнение окружности, проходящей через точки A(-2;1)
, B(9;3)
и C(1;7)
.
Ответ. (x-\frac{7}{2})^{2}+(y-2)^{2}=\frac{125}{4}
.
Решение. Поскольку
\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{(1-(-2);7-1)}=\overrightarrow{(3;6)},~\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{(1-9);7-3)}=\overrightarrow{(-8;4)},
то
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=3\cdot(-8)+6\cdot4=0.
Поэтому AC\perp BC
, т. е. треугольник ABC
— прямоугольный. Значит, центр его описанной окружности совпадает с серединой M(x_{0};y_{0})
гипотенузы AB
, а радиус R
этой окружности равен половине отрезка AB
.
Поскольку
x_{0}=\frac{-2+9}{2}=\frac{7}{2},~y_{0}=\frac{1+3}{2}=2,~\mbox{и}
R=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\sqrt{(9-(-2))^{2}+(3-1)^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{121+4}=\frac{\sqrt{125}}{2},
то искомое уравнение имеет вид
\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}+(y-2)^{2}=\frac{125}{4}.