4242. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку A(0;7)
и касающейся окружности (x-15)^{2}+(y-2)^{2}=25
.
Ответ. y=7
или y=-\frac{3}{4}x+7
.
Решение. Пусть k
— угловой коэффициент искомой касательной. Тогда уравнение касательной имеет вид y-7=k(x-0)
, или y=kx+7
. Данная задача сводится к нахождению всех таких чисел k
, для которых система уравнений
\syst{(x-15)^{2}+(y-2)^{2}=25\\y=kx+7\\}
имеет ровно одно решение.
Подставив y=kx+7
в первое уравнение, после очевидных упрощений получим квадратное уравнение
(k^{2}+1)x^{2}+10x(k-3)+225=0.
Это уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда его дискриминант равен 0, т. е.
D=10^{2}(k-3)^{2}-4\cdot225(k^{2}+1)=100(-8k^{2}-6k)=0.
Отсюда находим, что k=0
или k=-\frac{3}{4}
.
Следовательно, искомое уравнение имеет вид y=7
или y=-\frac{3}{4}x+7
.