4243. Докажите, что прямые, заданные уравнениями y=k_{1}x+l_{1}
и y=k_{2}x+l_{2}
и не параллельные координатным осям, перпендикулярны тогда и только тогда, когда k_{1}k_{2}=-1
.
Решение. Рассмотрим сначала случай, когда обе прямые проходят через начало координат, т. е. когда их уравнения имеют вид y=k_{1}x
и y=k_{2}x
. Положив x=1
, найдём ординаты точек M_{1}(1;y_{1})
и M_{2}(1;y_{2})
, лежащих на этих прямых:
y_{1}=k_{1}~\mbox{и}~y_{2}=k_{2}.
Данные прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда перпендикулярны векторы \overrightarrow{OM_{1}}=\overrightarrow{(1;k_{1})}
и \overrightarrow{OM_{2}}=\overrightarrow{(1;k_{2})}
, т. е. когда
\overrightarrow{OM_{1}}\cdot\overrightarrow{OM_{2}}=1\cdot1+k_{1}\cdot k_{2}=0.
Следовательно, равенство k_{1}k_{2}=-1
есть необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых y=k_{1}x
и y=k_{2}x
.
Поскольку угол между прямыми y=k_{1}x+l_{1}
и y=k_{2}x+l_{2}
равен углу между прямыми y=k_{1}x
и y=k_{2}x
, то доказанное утверждение верно и для исходных прямых.