4248. Даны точки A
, B
и положительное число d
. Найдите геометрическое место точек M
, для которых AM^{2}+BM^{2}=d
.
Ответ. Если d\gt\frac{AB^{2}}{2}
, то искомое ГМТ — окружность с центром в середине отрезка AB
.
Указание. Выберите систему координат XOY
так, чтобы точка A
была её началом, а точка B
лежала на положительной полуоси OX
.
Решение. Пусть AB=b
. Выберем систему координат XOY
так, чтобы точка A
была её началом, а точка B
лежала на положительной полуоси OX
. Тогда координаты точек A
и B
— (0;0)
и (b;0)
. Точка M(x;y)
принадлежит искомому геометрическому месту тогда и только тогда, когда
AM^{2}+BM^{2}=d~\Leftrightarrow~x^{2}+y^{2}+(x-b)^{2}+y^{2}=d~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~2x^{2}-2bx+2y^{2}+b^{2}=d~\Leftrightarrow~x^{2}-bx+y^{2}=\frac{d-b^{2}}{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\left(x-\frac{b}{2}\right)^{2}+y^{2}=\frac{d-b^{2}}{2}+\frac{b^{2}}{4}~\Leftrightarrow~\left(x-\frac{b}{2}\right)^{2}+y^{2}=\frac{2d-b^{2}}{4}.
Если d\gt\frac{b^{2}}{2}
, то искомое геометрическое место есть окружность радиуса \frac{1}{2}\sqrt{2d-b^{2}}
с центром в середине отрезка AB
. Если d=\frac{b^{2}}{2}
, то получится единственная точка — середина отрезка AB
. Если же d\lt\frac{b^{2}}{2}
, — то таких точек нет.