4249. Докажите, что расстояние от точки M(x_{0};y_{0})
до прямой, заданной уравнением ax+by+c=0
, равно
\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
Указание. Выразите через a
, b
и c
координаты точки пересечения данной прямой с прямой, проходящей через точку M
перпендикулярно данной прямой.
Решение. Первый способ. Пусть данная прямая не параллельна координатным осям. Запишем её уравнение в виде y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}
. Тогда её угловой коэффициент k_{1}=-\frac{a}{b}
. Если k_{2}
— угловой коэффициент прямой, перпендикулярной данной, то k_{1}\cdot k_{2}=-1
. Поэтому
k_{2}=-\frac{1}{k_{1}}=\frac{b}{a}.
Уравнение прямой l
, проходящей через точку M(x_{0};y_{0})
перпендикулярно данной прямой, найдём по точке и угловому коэффициенту k_{2}=\frac{b}{a}
:
y-y_{0}=\frac{b}{a}(x-x_{0}).
Координаты точки N(x;y)
пересечения данной прямой и прямой l
удовлетворяют системе уравнений
\syst{y-y_{0}=\frac{b}{a}(x-x_{0})\\ax+by+c=0\\}~\Leftrightarrow~\syst{y-y_{0}=\frac{b}{a}(x-x_{0})\\a(x-x_{0})+b(y-y_{0})=-ax_{0}-by_{0}-c.\\}
Отсюда находим, что
x-x_{0}=-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}(ax_{0}+by_{0}+c),~y-y_{0}=-\frac{a}{a^{2}+b^{2}}(ax_{0}+by_{0}+c).
Следовательно,
MN=\sqrt{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}=
=\sqrt{\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}(ax_{0}+by_{0}+c)\right)^{2}+\left(-\frac{a}{a^{2}+b^{2}}(ax_{0}+by_{0}+c)\right)^{2}}=\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
Второй способ. Пусть различные точки x_{1};y_{1}
и x_{2};y_{2}
лежат на прямой l
, заданной уравнением ax+by+c=0
. Тогда
ax_{1}+by_{1}+c=0,~ax_{1}+by_{1}+c=0,
поэтому
a(x_{2}-x_{1})+b(y_{2}-y_{1})=0.
Значит, вектор \overrightarrow{n}=(a;b)
перпендикулярен вектору \overrightarrow{l}=(x_{2}-x_{1};y_{2}-y_{1})
.
Пусть прямая, проходящая через точку M_{0}(x_{0};y_{0})
перпендикулярно прямой l
, пересекает прямую l
в точке M(x;y)
. Тогда вектор \overrightarrow{M_{0}M}
коллинеарен вектору \overrightarrow{n}
. Значит, \overrightarrow{M_{0}M}=\lambda\overrightarrow{n}
, где \lambda\in\mathbb{R}
, т. е. x-x_{0}=\lambda a
и y-y_{0}=\lambda b
, или x=x_{0}+\lambda a
и y=y_{0}+\lambda b
.
Поскольку точка M
лежит на прямой l
, получаем равенство
a(x_{0}+\lambda a)+b(y_{0}+\lambda b)+c=0,~\mbox{или}~ax_{0}+by_{0}+c+\lambda(a^{2}+b^{2})=0,
откуда \lambda=-\frac{ax_{0}+by_{0}+c}{a^{2}+b^{2}}
.
Расстояние d
от точки M_{0}(x_{0};y_{0})
до прямой l
равно расстоянию между точками M_{0}(x_{0};y_{0})
и M(x;y)
, т. е.
d=M_{0}M_{0}=\sqrt{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}=\sqrt{\lambda^{2}a^{2}+\lambda^{2}b^{2}}=|\lambda|\sqrt{a^{2}+b^{2}}=
=\left|\frac{ax_{0}+by_{0}+c}{a^{2}+b^{2}}\right|\cdot\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.