4250. Найдите расстояние между параллельными прямыми y=-3x+5
и y=-3x-4
.
Ответ. \frac{9}{\sqrt{10}}
.
Решение. Первый способ. Поскольку координаты точки A(0;5)
удовлетворяют уравнению y=-3x+5
, эта точка лежит на первой прямой, а так как прямые параллельны, то расстояние между ними равно расстоянию то точки A
до второй прямой. Запишем уравнение этой прямой в общем виде (y+3x+4=0
) и воспользуемся формулой для расстояния между точкой и прямой:
d=\frac{|5+3\cdot0+4|}{\sqrt{1^{2}+3^{2}}}=\frac{9}{\sqrt{10}}.
Второй способ. Пусть первая прямая пересекает ось OY
в точке A(0;5)
, а вторая — в точке B(0;-4)
. Тогда AB=5-(-4)=9
. Если \alpha
— острый угол, между каждой из этих прямых и осью OX
, то \tg\alpha=3
. Тогда
\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^{2}\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.
Пусть C
— проекция точки B
на прямую y=-3x+5
. Тогда \angle ABC=\alpha
, а искомое расстояние между прямыми равно длине отрезка BC
.
Из прямоугольного треугольника ABC
находим, что
BC=AB\cos\alpha=9\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{9}{\sqrt{10}}.