4251. Составьте уравнение окружности с центром в точке M(3;2)
, касающейся прямой y=2x+6
.
Ответ. (x-3)^{2}+(y-2)^{2}=20
.
Решение. Первый способ. Пусть радиус искомой окружности равен R
. Тогда расстояние от точки M
до данной прямой также равно R
. Запишем уравнение этой прямой в общем виде (2x-y+6=0
) и воспользуемся формулой для расстояния между точкой и прямой:
R=\frac{|2\cdot3-2+6|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}.
Следовательно, искомое уравнение имеет вид
(x-3)^{2}+(y-2)^{2}=20.
Второй способ. Искомое уравнение имеет вид
(x-3)^{2}+(y-2)^{2}=R^{2}.
Подставим в левую часть этого уравнения y=2x+6
. После очевидных упрощений получим квадратное уравнение 5x^{2}+10x+25-R^{2}=0
. Поскольку прямая и окружность имеют единственную общую точку, то полученное уравнение имеет ровно одно решение, значит, его дискриминант равен 0, т. е.
D=100-20(25-R^{2})=20(5-25+R^{2})=20(R^{2}-20)-0.
Отсюда находим, что R^{2}=20
. Следовательно, искомое уравнение имеет вид
(x-3)^{2}+(y-2)^{2}=20.