4253. Теорема косинусов. Докажите, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними,т. е.
c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma,
где a
, b
, c
— стороны треугольника, \gamma
— угол, противолежащий стороне, равной c
.
Решение. Рассмотрим треугольник ABC
. Обозначим AB=c
, AC=b
, BC=a
, \angle ACB=\gamma
.
Первый способ. Пусть AD
— высота треугольника.
Рассмотрим случай, когда точка D
лежит между точками B
и C
(рис. 1). Из прямоугольных треугольников ADC
и ADB
находим, что
AD=AC\sin\gamma=b\sin\gamma,~CD=AC\cos\gamma=b\cos\gamma,~BD=BC-CD=a-b\cos\gamma,
c^{2}=AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}=(b\sin\gamma)^{2}+(a-b\cos\gamma)^{2}=
=a^{2}+b^{2}(\sin^{2}\gamma+\cos^{2}\gamma)-2ab\cos\gamma=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma.
Если точка D
лежит на продолжении отрезка BC
за точку C
(рис. 2), то
AD=AC\sin\angle ACD=AC\sin(180^{\circ}-\gamma)=b\sin\gamma,
CD=AC\cos(180^{\circ}-\gamma)=-b\cos\gamma,~BD=BC+CD=a-b\cos\gamma,
c^{2}=AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}=(b\sin\gamma)^{2}+(a-b\cos\gamma)^{2}=
=a^{2}+b^{2}(\sin^{2}\gamma+\cos^{2}\gamma)-2ab\cos\gamma=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma.
Если точка D
лежит на продолжении отрезка BC
за точку B
(рис. 3), то
AD=AC\sin\gamma=b\sin\gamma,~CD=AC\cos\gamma=b\cos\gamma,~BD=CD-BC=b\cos\gamma-a,
c^{2}=AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}=(b\sin\gamma)^{2}+(b\cos\gamma-a)^{2}=
=a^{2}+b^{2}(\sin^{2}\gamma+\cos^{2}\gamma)-2ab\cos\gamma=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma.
Наконец, если точка D
совпадает с точкой C
или B
, то утверждение очевидно.
Второй способ. Поскольку
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB},
то
\overrightarrow{AB}^{2}=\overrightarrow{AC}^{2}+\overrightarrow{CB}^{2}+2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CB}=
=AC^{2}+CB^{2}+2AC\cdot CB\cos(180^{\circ}-\angle ACB)=a^{2}+b^{2}+2ab\cos(180^{\circ}-\gamma)=
=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma.