4254. Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения двух его соседних сторон на синус угла между ними, т. е.
S_{\triangle}=\frac{1}{2}ab\sin\gamma,
где a
и b
— стороны треугольника, \gamma
— угол, противолежащий третьей стороне.
Решение. Рассмотрим треугольник ABC
. Обозначим AC=b
, BC=a
, \angle ACB=\gamma
. Пусть AD
— высота треугольника.
Рассмотрим случай, когда точка D
лежит либо между точками B
и C
(рис. 1), либо на продолжении стороны BC
за точку B
(рис. 2). Из прямоугольного треугольника ADC
находим, что
AD=AC\sin\gamma=b\sin\gamma.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}ab\sin\gamma.
Пусть точка D
лежит на продолжении стороны BC
за точку C
(рис. 3). Тогда
AD=AC\sin\angle ACD=AC\sin(180^{\circ}-\gamma)=b\sin\gamma.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}ab\sin\gamma.
Если точка D
совпадает с точкой C
или B
, то доказательство очевидно.