4255. Докажите, что площадь параллелограмма произведению двух его соседних сторон на синус угла между ними, т. е.
S=ab\sin\gamma,
где a
и b
— соседние стороны параллелограмма, \gamma
— угол между ними.
Решение. Рассмотрим параллелограмм ABCD
, в котором AB=a
, AD=b
и \angle BAD=\gamma
. Проведём диагональ BD
. Треугольники ABD
и CDB
равны, следовательно
S_{ABCD}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle CDB}=2S_{\triangle ABD}=
=2\cdot\frac{1}{2}AB\cdot AD\cdot\sin\angle BAD=ab\sin\gamma.