4256. Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения двух его высот, делённого на синус угла между сторонами, на которые эти высоты опущены, т. е.
S_{\triangle}=\frac{1}{2}\cdot\frac{h_{a}h_{b}}{\sin\gamma},
где h_{a}
и h_{b}
— высоты, опущенные на стороны, равные a
и b
, а \gamma
— угол между этими сторонами.
Решение. Пусть AM=h_{a}
и BN=h_{b}
— высоты треугольника ABC
, BC=a
и AC=b
— стороны треугольника, \angle ACB=\gamma
. Из прямоугольных треугольников BNC
и AMC
находим, что
a=BC=\frac{BN}{\sin\gamma}=\frac{h_{b}}{\sin\gamma},~b=AC=\frac{AM}{\sin\gamma}=\frac{h_{a}}{\sin\gamma}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab\sin\gamma=\frac{1}{2}\cdot\frac{h_{a}}{\sin\gamma}\cdot\frac{h_{b}}{\sin\gamma}\cdot\sin\gamma=\frac{1}{2}\cdot\frac{h_{a}h_{b}}{\sin\gamma}.