4258. Докажите, что площадь треугольника равна удвоенному квадрату радиуса окружности, описанной около треугольника, умноженному на произведение синусов углов треугольника, т. е.
S_{\triangle}=2R^{2}\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma,
где \alpha
, \beta
, \gamma
— углы треугольника, а R
— радиус его описанной окружности.
Решение. Пусть a
, b
, c
— стороны треугольника, противолежащие его углам \alpha
, \beta
, \gamma
соответственно, R
— радиус окружности, описанной около треугольника. Тогда
a=2R\sin\alpha,~b=2R\sin\beta.
Следовательно,
S_{\triangle}=\frac{1}{2}ab\sin\gamma=\frac{1}{2}\cdot2R\sin\alpha\cdot2R\sin\beta\cdot\sin\gamma=2R^{2}\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma.