4259. Докажите, что площадь треугольника равна произведению трёх его сторон, делённому на учетверённый радиус окружности, описанной около треугольника, т. е.
S_{\triangle}=\frac{abc}{4R},
где a
, b
, c
— стороны треугольника, R
— радиус его описанной окружности.
Решение. Пусть \gamma
— угол треугольника, противолежащей стороне, равной c
, a
и b
— остальные стороны треугольника, а R
— радиус окружности, описанной около треугольника. Тогда
\sin\gamma=\frac{c}{2R}.
Следовательно,
S_{\triangle}=\frac{1}{2}ab\sin\gamma=\frac{1}{2}ab\cdot\frac{c}{2R}=\frac{abc}{4R}.
Источник: Ефремовъ Д. Д. Новая геометрiя треугольника. — Одесса, 1902. — № 12, с. 24
Источник: Пржевальский Е. Собрание геометрических теорем и задач. — М.: Типография Г. Лисснера и Д. Собко, 1909. — № 86, с. 144
Источник: Куланин Е. Д., Федин С. Н. Геометрия треугольника в задачах: Экспериментальное учебное пособие для 8—10 кл. школ физико-математического направления. — М.: НИИ школ, 1990. — № 15а, с. 57
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 12.1, с. 289