4259. Докажите, что площадь треугольника равна произведению трёх его сторон, делённому на учетверённый радиус окружности, описанной около треугольника, т. е.
S_{\triangle}=\frac{abc}{4R},
где a
, b
, c
— стороны треугольника, R
— радиус его описанной окружности.
Решение. Пусть \gamma
— угол треугольника, противолежащей стороне, равной c
, a
и b
— остальные стороны треугольника, а R
— радиус окружности, описанной около треугольника. Тогда
\sin\gamma=\frac{c}{2R}.
Следовательно,
S_{\triangle}=\frac{1}{2}ab\sin\gamma=\frac{1}{2}ab\cdot\frac{c}{2R}=\frac{abc}{4R}.