4262. Через точку пересечения медиан треугольника ABC
проходит прямая, пересекающая стороны AB
и AC
. Расстояния от вершин B
и C
до этой прямой равны a
и b
соответственно. Найдите расстояние от вершины A
до этой прямой.
Ответ. b+c
.
Указание. Рассмотрите проекции точек B
, A
, C
и середины стороны BC
на данную прямую.
Решение. Пусть M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
; K
— середина стороны BC
; E
, P
, Q
и F
— проекции точек соответственно B
, A
, K
и C
на данную прямую. Поскольку AK
— медиана треугольника ABC
, а M
— точка пересечения медиан этого треугольника, то AM:MK=2:1
.
KQ
— средняя линия прямоугольной трапеции BEFC
(или прямоугольника, если b=c
). Поэтому
KQ=\frac{BE+CF}{2}=\frac{b+c}{2}.
Из подобия прямоугольных треугольников KQM
и APM
следует, что
AP=KQ\cdot\frac{AM}{KM}=\frac{b+c}{2}\cdot2=b+c.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2002, LXV, окружной тур, 9 класс