4263. Основания трапеции равны 3 и 5. Одна из диагоналей трапеции равна 8, угол между диагоналями равен 60^{\circ}
. Найдите периметр трапеции.
Ответ. 22.
Указание. Через вершину меньшего основания трапеции проведите прямую, параллельную одной из диагоналей.
Решение. Пусть ABCD
— данная трапеция, BC=3
и AD=5
— её основания, AC=8
— данная диагональ, O
— точка пересечения диагоналей. Через вершину C
проведём прямую, параллельную диагонали BD
. Пусть эта прямая пересекается с продолжением основания AD
в точке E
. Тогда BCED
— параллелограмм,
DE=BC=3,~AE=AD+DE=AD+BC=3+5=8=AC.
Поэтому треугольник CAE
— равнобедренный. Значит,
\angle AEC=\angle ACE=\angle AOD.
Заметим, что угол AOD
не может быть тупым, так как он равен углу ACE
при основании равнобедренного треугольника. Поэтому \angle AOD=60^{\circ}
. Следовательно, треугольник ACE
— равносторонний, а значит, CE=8
.
Поскольку диагонали AC
и BD
трапеции ABCD
равны, то она равнобедренная. По теореме косинусов из треугольника CED
находим, что
CD^{2}=CE^{2}+DE^{2}-2\cdot CE\cdot DE\cos60^{\circ}=64+9-2\cdot8\cdot3\cdot\frac{1}{2}=49.
Поэтому CD=7
. Следовательно, периметр трапеции равен 3+5+7+7=22
.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2002, LXV, окружной тур, 10 класс