4264. Докажите, что сумма расстояний от любой точки до всех вершин выпуклого четырёхугольника площади 1, не может быть меньше 2\sqrt{2}
.
Указание. Воспользуйтесь неравенством треугольника и формулой площади четырёхугольника через диагонали у углу между ними.
Решение. Пусть произвольная точка O
удалена от вершин A
, B
, C
и D
четырёхугольника на расстояния a
, b
, c
и d
соответственно, а диагонали AC
и BD
равны соответственно x
и y
. Поскольку
a+c=OA+OC\geqslant AC=x,~b+d=OB+OD\geqslant BD=y,
то
a+b+c+d=(a+c)+(b+d)\geqslant x+y\geqslant2\sqrt{xy}.
Пусть S
— площадь четырёхугольника, а \varphi
— угол между его диагоналями. Тогда
S=\frac{1}{2}xy\sin\varphi\leqslant\frac{1}{2}xy.
Поэтому xy\geqslant2S
. Следовательно,
a+b+c+d\geqslant x+y\geqslant2\sqrt{xy}\geqslant2\sqrt{2s}=2\sqrt{2}.