4267. В выпуклом четырёхугольнике, не являющемся параллелограммом, две противоположные стороны равны. Докажите, что прямая, проходящая через середины его диагоналей, образует равные углы с этими сторонами.
Решение. Пусть M
и N
— середины диагоналей соответственно AC
и BD
выпуклого четырёхугольника ABCD
, в котором AB=CD
. Если K
— середина стороны BC
, то KM
— средняя линия треугольника ABC
, а KN
— средняя линия треугольника BCD
. Поэтому
KM\parallel AB,~KM=\frac{1}{2}AB,~KN\parallel CD,~KN=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AB=KM.
Значит, треугольник KMN
— равнобедренный.
Пусть прямая MN
пересекает стороны AB
и CD
соответственно в точках P
и Q
. Тогда
\angle BPM=\angle KMN=\angle KNM=\angle CQN.
Что и требовалось доказать.