4271. Внутри квадрата ABCD
лежит квадрат PQRS
. Отрезки AP
, BQ
, CR
и DS
не пересекают друг друга и стороны квадрата PQRS
. Докажите, что сумма площадей четырёхугольников ABQP
и CDSR
равна сумме площадей четырёхугольников BCRQ
и DAPS
.
Решение. Пусть точки H
и K
— проекции точек соответственно P
и Q
сторону AB
квадрата ABCD
, G
и E
— проекции точек соответственно Q
и R
сторону BC
, L
и M
— проекции точек соответственно R
и S
сторону DC
, F
и N
— проекции точек соответственно S
и P
сторону AD
.
Предположим, что эти проекции расположены так, как показано на рисунке. Поскольку последовательные стороны квадратов получаются друг из друга поворотом на угол 90^{\circ}
, то углы между прямыми AB
и PQ
, BC
и QR
, CD
и RS
, DA
и SP
равны. Поэтому равны и проекции HK
, GE
, LM
и FN
сторон меньшего квадрата на соответствующие стороны большего.
Пусть сторона квадрата ABCD
равна 1. Обозначим HK=GE=LM=FN=d
,
S_{\triangle AHP}=S_{\triangle ANP}=p,~S_{\triangle BKQ}=S_{\triangle BGQ}=q,~S_{\triangle ECR}=S_{\triangle LRC}=r,~S_{\triangle MSD}=S_{\triangle FSD}=s.
Заметим, что HP+MS=KQ+RL=1-d
. Тогда
S_{APQB}+S_{CRSD}=(S_{\triangle AHP}+S_{\triangle BKQ}+S_{PHKQ})+(S_{\triangle DMS}+S_{\triangle LRC}+S_{MSRL})=
=(p+q+\frac{1}{2}(PH+QK)\cdot d)+(r+s+\frac{1}{2}(RL+SM)\cdot d)=
=p+q+r+s+\frac{1}{2}((PH+SM)+(QK+RL))d=p+q+r+s+\frac{1}{2}((1-d)+(1-d))d=
=p+q+r+s+(1-d)d.
Аналогично находим, что сумма площадей четырёхугольников S_{APSD}
и S_{BQRC}
также равна p+q+r+s+(1-d)d
. (Заметим, что каждая из этих сумм равна \frac{1-d^{2}}{2}
.)
Для любого другого расположения указанных точек через d
обозначим величину проекции вектора \overrightarrow{PQ}
на направленную прямую AB
(|d|=HK
, причём d\gt0
, если направление вектора \overrightarrow{HK}
совпадает с направлением \overrightarrow{AB}
, и d\lt0
, если нет). Такими же будут величины проекций \overrightarrow{QR}
на \overrightarrow{BC}
, \overrightarrow{RS}
на \overrightarrow{CD}
и \overrightarrow{SP}
на \overrightarrow{DA}
.
Чтобы получить площадь четырёхугольника APQB
, нужно сумму p+q
площадей треугольников APH
и KQB
увеличить (если d\gt0
) или уменьшить (если d\lt0
) на площадь трапеции KPQH
. Остальное аналогично.
(Решение Н.Васильева.)