4273. В угол с вершиной C
вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках A
и B
. Отрезок расположен внутри невыпуклого криволинейного треугольника ABC
, где AB
— меньшая дуга окружности. Докажите, что длина этого отрезка меньше длины отрезка AC
.
Решение. Пусть d
— указанный отрезок.Продолжим его до сторон криволинейного треугольника ABC
. Если новый отрезок меньше AC
, то и d
был меньше AC
. Будем считать, что с самого начала концы отрезка d
лежали на сторонах криволинейного треугольника. Возможны два случая:
1) оба конца отрезка d
лежат на сторонах AC
и BC
(рис. 1).
2) один из концов на меньшей дуге AB
(рис. 2, рис. 3).
В первом из этих случаев рассмотрим отрезок прямой MN
, параллельной отрезку d
и касающейся данной окружности. Пусть точки M
и N
лежат на отрезках BC
и AC
соответственно, а прямая MN
касается окружности в точке K
. Обозначим угловые меры меньших дуг AB
, AK
и BK
через 2\gamma
, 2\alpha
и 2\beta
соответственно. Тогда, если r
— радиус окружности, то
BC=AC=r\tg\gamma,~NK=r\tg\alpha,~MK=r\tg\beta.
Углы \alpha
, \beta
, \gamma
заключены между 0 и \frac{\pi}{2}
, причём \gamma=\alpha+\beta
, Следовательно,
MN=NK+MK=r\tg\alpha+r\tg\beta=r(\tg\alpha+\tg\beta)=r\cdot(1-\tg\alpha\tg\beta)\tg(\alpha+\beta)\lt
\lt r\cdot\tg(\alpha+\beta)=r\tg\gamma=AC.
Рассмотрим второй случай. Пусть конец N
отрезка MN
лежит на дуге AB
, а M
— на отрезке BC
. Будем перемещать прямую MN
параллельно самой себе так, чтобы точка N
оставалась на дуге AB
. Это перемещение закончится одним из двух способов: либо (рис. 1) точка N
станет точкой касания (тогда, продолжив отрезок MN
за точку N
, сведём задачу к уже рассмотренному первому случаю), либо конец M
совпадёт с точкой C
(рис. 3). Тогда продолжим полученный отрезок CN
за точку N
до пересечения с хордой AB
в точке P
. Один из углов CPA
и CPB
не меньше, чем \frac{\pi}{2}
. Значит, в одном из треугольников CPA
или CPB
этот угол наибольший. Против него лежит наибольшая сторона треугольника, а так как AC=BC
, то CP\lt BC
. Следовательно, MN\lt CP\lt BC
.
Источник: Турнир городов. — 1993-1994, XV, осенний тур, старшие классы, основной вариант