4274. Рассматривается шестиугольник, который является пересечением двух (не обязательно равных) правильных треугольников. Докажите, что если параллельно перенести один из треугольников, то периметр пересечения (если оно остаётся шестиугольником), не меняется.
Решение. Рассмотрим объединение двух данных треугольников. Оно состоит из шестиугольника пересечения H
и шести подобных между собой треугольников (один из углов каждого такого треугольника равен 60^{\circ}
, а два других — \alpha
и 120^{\circ}-\alpha
).
Если a
— сторона такого треугольника, лежащая против угла в 60^{\circ}
(она также является стороной шестиугольника H
), а P_{a}
— периметр этого треугольника, то отношение \frac{a}{P_{a}}
одно и то же для каждого из шести таких треугольников и не меняется при параллельном переносе. Обозначим это отношение через k
. Тогда a=kP_{a}
, поэтому периметр шестиугольника H
равен сумме периметров шести подобных треугольников, умноженной на k
.
Осталось заметить, что сумма периметров шести подобных треугольников равна сумме периметров двух данных.