4275. Из точки O
, лежащей внутри выпуклого n
-угольника A_{1}A_{2}\dots A_{n}
, проведены отрезки ко всем вершинам: OA_{1}
, OA_{2}
, …, OA_{n}
. Оказалось, что все углы между этими отрезками и прилегающими к ним сторонами n
-угольника — острые, причём
\angle OA_{1}A_{n}\leqslant\angle OA_{1}A_{2},~\angle OA_{2}A_{1}\leqslant\angle OA_{2}A_{3},~\dots,~\angle OA_{n-1}A_{n-2}\leqslant\angle OA_{n-1}A_{n},
\angle OA_{n}A_{n-1}\leqslant\angle OA_{n}A_{1}.
Докажите, что O
— центр окружности, вписанной в n
-угольник.
Решение. Докажем сначала, что каждое нестрогое неравенство в условии задачи является равенством. Для этого опустим перпендикуляры OM
и ON
из точки O
на две соседние стороны, например, на A_{1}A_{2}
и A_{2}A_{3}
соответственно. По условию задачи углы при основаниях A_{1}A_{2}
и A_{2}A_{3}
— острые, поэтому точки M
и N
лежат на отрезках A_{1}A_{2}
и A_{2}A_{3}
(а не на их продолжениях).
Поскольку
OM=OA_{2}\cdot\sin\angle OA_{2}A_{1},~ON=OA_{2}\cdot\sin\angle OA_{2}A_{3},
а углы OA_{2}A_{1}
и OA_{2}A_{3}
— острые, то из неравенства \angle OA_{2}A_{1}\lt\angle OA_{2}A_{3}
следует, что OM\lt ON
, а из равенства \angle OA_{2}A_{1}=\angle OA_{2}A_{3}
— OM
= ON
.
Аналогичное утверждение верно для любой вершины n
-угольника. Если хотя бы для одной вершины верно строгое неравенство, то, пройдя по цепочке неравенств для всех вершин, получим, что OM\lt OM
, что невозможно. Таким образом, мы доказали, что все нестрогие неравенства — на самом деле строгие равенства.
Из доказанного утверждения следует, что перпендикуляры, опущенные из точки O
на стороны многоугольника, равны между собой. Кроме того, как уже отмечено, основания этих перпендикуляров лежат на сторонах, а не на их продолжениях. Следовательно, окружность с центром O
и радиусом, равным OM
, касается всех сторон n
-угольника, т. е. является вписанной в этот n
-угольник.