4276. Треугольник ABC
вписан в окружность. Точка A_{1}
диаметрально противоположна точке A
, точка A_{0}
— середина стороны BC
, точка A_{2}
симметрична точке A_{1}
относительно точки A_{0}
. Точки B_{2}
и C_{2}
определяются аналогично. Докажите, что точки A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
совпадают.
Указание. Докажите, что точка A_{2}
лежит на прямых, содержащих высоты треугольника, проведённые из вершин B
и C
.
Решение. Диагонали A_{1}A_{2}
и BC
четырёхугольника A_{1}BA_{2}C
точкой пересечения A_{0}
делятся пополам. Значит, четырёхугольник A_{1}BA_{2}C
— параллелограмм. Поэтому BA_{2}\parallel A_{1}C
и CA_{2}\parallel A_{1}B
.
Точки B
и C
лежат на окружности с диаметром AA_{1}
, поэтому A_{1}B\perp AB
и A_{1}C\perp AC
. Значит, CA_{2}\perp AB
и BA_{2}\perp AC
, т. е. A_{2}
— точка пересечения высот треугольника ABC
. Аналогично для точек B_{2}
и C_{2}
.
Автор: Ягубьянц А. А.
Источник: Турнир городов. — 1993-1994, XV, весенний тур, старшие классы, тренировочный вариант