4277. Окружности s_{1}
и s_{2}
пересекаются в точках A
и B
. В точке A
к обеим окружностям проведены касательные, пересекающие окружности в точках M
и N
. Прямые BM
и BN
пересекают окружности ещё раз в точках P
и Q
(P
— на прямой BM
, Q
— на прямой BN
). Докажите, что отрезки MP
и NQ
равны.
Указание. Треугольники MAP
и QAN
равны по двум сторонам и углу между ними.
Решение. Пусть точки расположены, как показано на рисунке (другие случаи расположения рассматриваются аналогично).
Первый способ. Обозначим \angle MAB=\alpha
, \angle NAB=\beta
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle AMB=\angle NAB=\beta,~\angle ANB=\angle MAB=\alpha,~
\angle APN=\angle APB+\angle BPN=\angle ANB+\angle NAB=\alpha+\beta=\angle MAN.
Поскольку
\angle ANP=\angle ABP=\angle MAB+\angle AMB=\alpha+\beta
(по теореме о внешнем угле треугольника), то треугольник NAP
— равнобедренный. Поэтому AP=AN
. Аналогично докажем, что AM=AQ
.
Докажем теперь, что \angle MAP=\angle NAQ
. В самом деле,
\angle NAP=\angle PBN=\angle QBM=\angle MAQ.
Следовательно,
\angle MAP=\angle MAN+\angle NAP=\angle MAN+\angle MAQ=\angle NAQ.
Таким образом, треугольники MAP
и QAN
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, MP=NQ
.
Второй способ. Углы AMB
и AQB
опираются на одну и ту же дугу окружности s_{1}
, поэтому они равны. Аналогично, равны углы ANB
и APB
. В треугольниках MAP
и QAN
равны две пары углов, значит, эти треугольники подобны.
Из теоремы об угле между касательной и хордой, теоремы о внешнем угле треугольника и равенства \angle QMA=\angle QBA
получаем
\angle MQA=\angle MAN=\angle MAB+\angle BAN=\angle ANB+\angle BAN=
=\angle QBA=\angle QMA.
Значит, \angle MQA=\angle QMA
, поэтому треугольник MQA
равнобедренный, AQ=AM
. Следовательно, подобные треугольники MAP
и QAN
равны, откуда вытекает утверждение задачи.