4278. На стороне BC
треугольника ABC
выбрана точка D
. В треугольники ABD
и ACD
вписаны окружности. К ним проведена общая касательная (отличная от BC
), пересекающая AD
в точке K
. Докажите, что длина отрезка AK
не зависит от выбора точки D
.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
. Пусть окружность, вписанная в треугольник ABD
касается проведённой общей касательной — в точке R
, отрезка AD
в точке M
, стороны AB
— в точке P
, прямой BC
— в точке T
, а окружность, вписанная в треугольник ACD
касается проведённой общей касательной — в точке S
, отрезка AD
в точке N
, стороны AC
— в точке Q
, прямой BC
— в точке U
. Тогда
2AK=(AM-KM)+(AN-KN)=(AP-KR)+(AQ-KS)=
=AP+AQ-(KR+KS)=AP+AQ-RS=
=AP+AQ-TU=(c-BP)+(b-CQ)-TU=(c-BT)+(b-CU)-TU=
=c+b-(BT+CU+TU)=c+b-a.
(так как отрезки внешних касательных RS
и TU
равны, а также BP=BT
и CQ=CU
).
Следовательно, AK=\frac{1}{2}(c+b-a)
, а значит, не зависит от выбора точки D
.