4280. Внутри квадрата ABCD
взята точка M
. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников ABM
, BCM
, CDM
и DAM
образуют квадрат.
Указание. Примените гомотетию.
Решение. Пусть K
, L
, P
и N
— середины сторон соответственно AB
, BC
, CD
и AD
. Тогда KLMN
— квадрат. Поскольку точка пересечения медиан делит каждую медиану треугольника в отношении 1:2
, считая от вершины, то при гомотетии с центром M
и коэффициентом \frac{2}{3}
четырёхугольник KLMN
переходит в четырёхугольник с вершинами в точках пересечения медиан треугольников ABM
, BCM
, CDM
и DAM
. Значит, последний четырёхугольник также является квадратом.