4281. Постройте четырёхугольник по четырём сторонам и отрезку, соединяющему середины диагоналей.
Решение. Предположим, что четырёхугольник ABCD
построен. Пусть M
и N
— середины его диагоналей AC
и BD
, MN=m
, а P
, Q
, R
и S
— середины данных сторон AB=a
, BC=b
, CD=c
, DA=d
соответственно. Поскольку MP
— средняя линия треугольника ABC
, то MP=\frac{1}{2}BC
и MP\parallel BC
. Аналогично NP=\frac{1}{2}AD
и NP\parallel AD
, NR=\frac{1}{2}BC
и NR\parallel BC
, MQ=\frac{1}{2}AB
и MQ\parallel AB
.
Отсюда вытекает следующее построение. Строим треугольник MPN
по трём сторонам MN=m
, MP=\frac{b}{2}
, NP=\frac{d}{2}
, затем аналогично строим треугольники MNR
и MNQ
. На сторонах MP
и MQ
построим параллелограмм PMQB
. Его четвёртая вершина B
есть вершина искомого четырёхугольника. На продолжении отрезка BQ
за точку Q
откладываем отрезок QC
, равный BQ
, на продолжении отрезка BP
за точку P
откладываем отрезок PA
, равный BP
, на продолжении отрезка CR
за точку R
откладываем отрезок RD
, равный CR
.
У построенного таким образом четырёхугольника ABCD
точка M
— середина AC
, так как по построению Q
— середина BC
и QM\parallel BP
. Поскольку PMRN
— параллелограмм, то RN\parallel PM\parallel BC
, поэтому N
— середина диагонали BD
. Наконец, AD=2PN=d
, AB=2MQ=a
, BC=2BQ=2PM=b
, CD=2CR=2QN=c
и MN=m
.