4290. На сторонах AB
, BC
и AC
треугольника ABC
взяты такие точки P
, M
и K
, что отрезки AM
, BK
и CP
пересекаются в одной точке и сумма векторов \overrightarrow{AM}
, \overrightarrow{BK}
и \overrightarrow{CP}
равна \overrightarrow{0}
. Докажите, что P
, M
и K
— середины сторон треугольника ABC
.
Решение. Заметим (рис. 1), что
\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{BP}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BK})+(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM})+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CP})=
=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA})+(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BK}+\overrightarrow{CP})=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}.
Пусть
\overrightarrow{CM}=p\overrightarrow{CB},~\overrightarrow{AK}=q\overrightarrow{AC},~\overrightarrow{BP}=r\overrightarrow{BA}.
Тогда
\overrightarrow{0}=\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{BP}=p\overrightarrow{CB}+q\overrightarrow{AC}+r\overrightarrow{BA}.
Поэтому
q\overrightarrow{AC}+r\overrightarrow{BA}=p\overrightarrow{BC}=p\overrightarrow{BA}+p\overrightarrow{AC}.
Поскольку векторы \overrightarrow{BA}
и \overrightarrow{AC}
неколлинеарны, отсюда следует, что p=q=r
.
Пусть медианы AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
треугольника ABC
пересекаются в точке G
(рис. 2). Предположим, что p=q=r\lt\frac{1}{2}
. Тогда точка пересечения отрезков AM
и BK
лежит внутри треугольника AB_{1}G
, а точка пересечения отрезков CP
и BK
— внутри треугольника BC_{1}G
, что невозможно (эти точки совпадают по условию). Аналогично докажем, что случай p=q=r\gt\frac{1}{2}
также невозможен.
Следовательно, p=q=r=\frac{1}{2}
. Значит, точки P
, M
и K
— середины сторон треугольника ABC
.
Автор: Прасолов В. В.
Источник: Турнир городов. — 1982-1983, IV, весенний тур, старшие классы, основной вариант