4294. Медиана, высота и биссектриса, проведённые из разных вершин треугольника, пересекаются в точке O
. Отрезок биссектрисы от вершины до точки O
равен отрезку высоты от вершины до точки O
. Докажите, что треугольник равносторонний.
Решение. Пусть AD
— медиана треугольника ABC
, BE
— высота, CF
— биссектриса. Поскольку треугольник BOC
равнобедренный, то его медиана OD
является высотой, поэтому AD
— также высота треугольника ABC
. Значит, AB=AC
, а O
— точка пересечения высот треугольника ABC
. Тогда и биссектриса CF
является его высотой. Поэтому AC=BC
. Следовательно, треугольник ABC
равносторонний.