4295. На плоскости расположено конечное множество точек M
, такое, что никакие три точки не лежат на одной прямой. Некоторые точки соединены друг с другом отрезками так, что из каждой точки выходит не более одного отрезка. Разрешается заменить пару пересекающихся отрезков AB
и CD
парой противоположных сторон AC
и BD
четырёхугольника ACBD
. В полученной системе отрезков разрешается снова произвести подобную замену, и т. д. Может ли последовательность таких замен быть бесконечной?
Ответ. Нет, не может.
Решение. Пусть диагонали AB
и CD
четырёхугольника ACBD
пересекаются в точке O
. Тогда
AO+OC\gt AC,~OB+OD\gt BD
(неравенство треугольника). Поэтому
AC+BD\lt(AO+OC)+(OB+OD)=(AO+OB)+(CO+OD)=AB+CD.
Это означает, что на каждом шаге сумма длин имеющихся отрезков уменьшается. В то же время, всевозможных систем отрезков указанного вида конечное число (так как число точек конечно). Значит, сумма длин отрезков не может уменьшаться бесконечно долго.
Автор: Колосов В.
Источник: Турнир городов. — 1984-1985, VI, осенний тур, старшие классы, основной вариант