4298. Учитель продиктовал классу задание, которое каждый ученик выполнил в своей тетради. Вот это задание: «Нарисуйте две концентрические окружности радиусов 1 и 10. К малой окружности проведите три касательные так, чтобы их точки пересечения
A
,
B
и
C
лежали внутри большой окружности. Измерьте площадь
S
треугольника
ABC
и площади
S_{A}
,
S_{B}
и
S_{C}
трёх образовавшихся криволинейных треугольников с вершинами в точках
A
,
B
и
C
. Найдите
S_{A}+S_{B}+S_{C}-S
».
Докажите, что у всех учеников (если они правильно выполнили задание) получились одинаковые результаты.
Решение. Если некоторая хорда делит площадь круга на части с площадями
P
и
Q
, то равная ей хорда делит площадь круга на такие же части
P
и
Q
. Заметим, что отрезки касательных к малой окружности, заключённые внутри большой, равны между собой, так как хорды, равноудалённые от центра окружности, равны.
Пусть
S_{AB}
,
S_{BC}
,
S_{AC}
,— площади трёх криволинейных четырёхугольников со сторонами
AB
,
BC
и
AC
соответственно. Обозначим
\syst{S_{A}+S_{B}+S_{AB}=\sigma\\S_{A}+S_{AC}+S_{C}=\sigma\\S_{BC}+S_{B}+S_{C}=\sigma,}~~~\syst{S+S_{BC}+S_{AC}+S_{C}=\Sigma\\S+S_{A}+S_{AC}+S_{AB}=\Sigma\\S+S_{BC}+S_{B}+S_{AB}=\Sigma.}~

Сложив почленно равенства первой системы, получим:
2(S_{A}+S_{B}+S_{C})+(S_{BC}+S_{AC}+S_{AB})=3\sigma.

Сложив почленно равенства второй системы, получим:
3S+(S_{A}+S_{B}+S_{C})+2(S_{BC}+S_{AC}+S_{AB})=3\Sigma.

Первое из полученных равенств умножим почленно на 2 и вычтем из результата второе. Получим
3(S_{A}+S_{B}+S_{C})-3S=6\sigma-3\Sigma.

Поскольку
\sigma
и
\Sigma
зависят только от радиусов окружностей, то величина
(S_{A}+S_{B}+S_{C})-S
также зависит только от радиусов окружностей.