4301. В остроугольном треугольнике соединены основания высот. Оказалось, что в полученном треугольнике две стороны параллельны сторонам исходного треугольника. Докажите, что третья сторона также параллельна одной из сторон исходного треугольника.
Указание. Докажите, что такой треугольник — равносторонний.
Решение. Пусть AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— высоты остроугольного треугольника ABC
, причём A_{1}C_{1}\parallel AC
и A_{1}B_{1}\parallel AB
.
Из точек A_{1}
и C_{1}
отрезок AC
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AC
, а так как A_{1}C_{1}\parallel AC
, то AC_{1}A_{1}C
— вписанная трапеция, значит, она равнобедренная, поэтому \angle A=\angle C
. Аналогично доказывается равенство других двух углов треугольника. Таким образом, треугольник ABC
— равносторонний. Следовательно, B_{1}C_{1}\parallel BC
.