4304. Дана выпуклая фигура, ограниченная дугой AC
окружности и ломаной ABC
так, что дуга и ломаная лежат по разные стороны от хорды AC
. Через середину дуги AC
проведите прямую, делящую площадь фигуры пополам.
Указание. Пусть M
— середина дуги AC
, а N
— середина отрезка AC
. Через точку N
проведите прямую, параллельную BM
.
Решение. Пусть M
— середина дуги AC
, а N
— середина отрезка AC
. Если AB=BC
, то подойдёт прямая MB
.
Предположим, что AB\lt BC
. Тогда ломаная BNM
делит площадь рассматриваемой фигуры пополам. Построим на отрезке BC
такую точку P
, что PN\parallel BM
. Докажем, что прямая MP
делит площадь фигуры пополам.
Пусть отрезки PM
и BN
пересекаются в точке O
, а S
— площадь нашей фигуры. Поскольку NP\parallel MB
, то S_{\triangle MNO}=S_{\triangle BOP}
. Тогда
\frac{1}{2}S=S_{AMNB}=S_{AMOB}+S_{\triangle MNO}=S_{AMOB}+S_{\triangle BOP}=S_{AMPB},
где AMNB
, AMOB
и AMPB
— криволинейные четырёхугольники, с криволинейной стороной AM
.
Следовательно, площадь криволинейного треугольника MPC
также равна \frac{1}{2}S
.
Источник: Турнир городов. — 1987-1988, IX, осенний тур, младшие классы, основной вариант