4308. Точки M
и N
— середины противоположных сторон BC
и AD
выпуклого четырёхугольника ABCD
. Диагональ AC
проходит через середину отрезка MN
. Докажите, что треугольники ABC
и ACD
равновелики.
Указание. Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.
Решение. Пусть M
— середина стороны BC
, N
— середина AD
, O
— середина MN
. Поскольку медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника, то
S_{\triangle CND}=S_{\triangle ANC},~S_{\triangle ABM}=S_{\triangle AMC},~S_{\triangle AON}=S_{\triangle AOM},~S_{\triangle CON}=S_{\triangle COM}.
Поэтому
S_{\triangle ACD}=2S_{\triangle ACN}=2(S_{\triangle AON}+S_{\triangle CON})=
=2(S_{\triangle AOM}+S_{\triangle COM})=2S_{\triangle AMC}=S_{\triangle ABC}.
Источник: Турнир городов. — 1987-1988, IX, весенний тур, младшие классы, тренировочный вариант