4310. В треугольнике две высоты не меньше сторон, на которые они опущены. Найдите углы треугольника.
Ответ. 90^{\circ}
, 45^{\circ}
, 45^{\circ}
.
Решение. Пусть h_{a}
и h_{b}
— высоты, опущенные на стороны треугольника, равные a
и b
соответственно. По условию h_{a}\geqslant a
, h_{b}\geqslant b
. Тогда
a\geqslant h_{b}\geqslant b\geqslant h_{a}\geqslant a.
Значит,
a=h_{b}=b=h_{a}=a.
Следовательно, данный треугольник прямоугольный и равнобедренный.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 1964, XXVII, 1-й тур, 7 класс
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 1964, IV, 8-9 класс
Источник: Гальперин Г. А., Толпыго А. К. Московские математические олимпиады. — М.: Просвещение, 1988. — № 1, с. 85
Источник: Васильев Н. Б., Егоров А. А. Задачи всесоюзных математических олимпиад. — М.: Наука, 1988. — № 41, с. 27
Источник: Турнир городов. — 1987-1988, X, осенний тур, младшие классы, тренировочный вариант