4311. Внутри квадрата ABCD
выбрана точка M
такая, что \angle MAC=\angle MCD=\alpha
. Найдите величину угла ABM
.
Ответ. 90^{\circ}-2\alpha
.
Указание. Докажите, что точка M
лежит на окружности с центром в точке B
радиусом BA=BC
.
Решение. Проведём окружность с центром в точке B
радиусом BA=BC
. Докажем, что точка M
лежит на меньшей дуге AC
этой окружности.
Поскольку
\angle ACM+\angle DCM=45^{\circ}~\mbox{и}~\angle CAM=\angle DCM,
то
\angle CAM+\angle MCA=\angle ACM+\angle DCM=45^{\circ}.
Поэтому
\angle AMC=180^{\circ}-(\angle CAM+\angle MCA)=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}.
Значит, точка M
лежит либо на меньшей дуге AC
, либо на симметричной её дуге относительно прямой AC
.
Второй случай невозможен. Если бы точка M
лежала внутри треугольника ABC
, то
\angle MCD\gt45^{\circ}\gt\angle MAC,
что невозможно.
Итак, точка M
лежит на меньшей дуге AC
построенной окружности. Тогда по теореме о вписанном угле
\angle ABM=2\angle ACM=2(45^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}-2\alpha.